1. 서 론

발전소, 항공기 운영 등의 업을 영위하고 있는 O& M(Operation & Maintenance) 회사 사이에서 최근 각광받고 있는 기술이 PHM(Prognostics and Health Management)이다. PHM은 설비에서 실시간으로 얻는 데이터를 분석하여 설비의 현재 상태를 진단할 뿐 아니라 미래의 상태를 예측하는 공학적 방법을 의미한다. 현재 상태와 미래의 상태를 예측한다는 것은 해당 설비가 고장(Failure) 전까지 사용될 수 있는 잔존유효수명(Remaining useful life)도 결정할 수 있다는 의미이다. 잔존유효수명이 결정될 경우 O&M 회사들은 최적의 설비 교체 주기를 가져갈 수 있기 때문에 많은 관심을 가지고 연구를 진행하고 있다.[1]
 
잔존유효수명 결정과 같은 공학적인 문제를 해결해야 할 경우 공학자들은 주로 모델을 사용한다. 공학적 모델은 실제 시스템이나 현상의 복잡성을 간소화하고, 특정 변수들 사이의 관계를 밝혀낸 것이다. 공학에서 사용되는 지배방정식(Governing equation)이 대표적인 사례다. 공학적 모델은 일반적으로 독립변수와 종속변수 사이의 관계를 상수와 모수로 나타내는 수학적인 연산으로써 표현할 수 있으며, 상수와 모수는 실험을 통해 추정(Estimation)된다.[2] 그러나 실험실에서 얻는 데이터에는 실험 조건, 제작 공차, 재료 물성의 불확실성 때문에 완벽한 데이터를 얻을 수 없으므로 이러한 데이터로부터 얻는 상수와 모수 역시 불확실성을 포함할 수밖에 없고, 불확실성은 신뢰구간(Confidence interval) 또는 예측구간(Prediction interval)이라는 수치로 표현된다.
 
설비가 운전 중인 경우 실험실 수준의 정제된 조건에서의 데이터는 얻을 수 없으며, 비교적 질이 떨어지는 현장 자료(Field data)를 이용하여 간접적으로 설비의 잔존유효수명을 추정할 수밖에 없다. 특히 발전소 부품(가스터빈, 증기터빈 등)처럼 중후장대
(重厚長大)한 산업군의 경우 부품이 부피와 질량이 큰 경우가 많고, 해당 제품을 소량으로 생산하기 때문에 해당 제품을 이용하여 잔존유효수명 측정을 위한 어떠한 종류의 실험도 수행하기 어려워 연구실 수준에서 완전 자료(Complete data)를 얻을 수 있는 경박단소(輕薄短小) 제품의 경우보다 잔존유효수명을 추정하는 난이도가 더 높다.

본고에서는 베이즈 추론(Bayesian inference)법의 제한된 데이터를 이용하여 확률 기반의 잔존유효수명을 추정하는 다양한 사례를 소개한다.

2. 본론 ① – 잔존유효수명 결정 절차 및 경험식의 모수 추정 방법

(1) 잔존유효수명 결정 절차
잔존유효수명을 결정하기 위해서는 먼저 해당 시스템에서 ‘수명(Life)’으로 정의하고자 하는 물리량을 손상량(Damage)으로 설정한다. 다음으로 해당 물리량을 수명의 종료라고(End of life) 판단할 수 있는 임계치를 설정한다. 마지막으로 해당 손상량이 다양한 조건(온도, 시간, 하중 등)에 따라 어떤 식으로 변하는지 표현할 수 있는 수학식(Mathmatical function)을 결정하고, 해당 수학식의 모수(Parameter)를 결정한다. 일반적으로 사용하는 수학식은 성격에 따라 물리모델(Physical model)과 경험모델(Empirical)로 나뉜다. 물리모델은 물리학의 법칙과 이론에 기반하여만들어지고, 식 자체가 흔치 않은 경우가 대부분이다. 그러므로 해당 분야 경험자의 영역 지식(Domain knowledge)에 기반한 경험모델식을 설정한 후 실험이나 현장 데이터를 이용하여 모수를 추정하는 것이 일반적이다.

(2) 수학식의 모수 추정 방법
앞에서 설정한 경험모델식의 모수를 추정할 수 있는 많은 방법론이 존재한다. 경험모델식이 선형인 경우는 선형 최소제곱법을 활용해 모수를 구한다. 하지만 경험모델식이 선형인 경우는 드물다. 비선형 모델의 모수를 결정하기 위해서는 일반적으로 비선형 최소제곱, 베이즈, 파티클 필터 방법을 사용한다. 세 가지 방법론의 특징을 표 1에 나타내었다. 셋 중 베이즈 추론에 기반한 베이즈 방법이 다루기가 어렵고 계산량이 많지만, 데이터에 노이즈(Noise)와 편향(Bias)가 있어도 가장 강건(Robust)한 결과를 보이므로 경험식의 모수를 확률적으로 추정하는데 가장 널리 사용된다.

(3) 베이즈 추론(Bayesian inference)
베이즈 추론은 베이즈 정리에 기반해 통계적 추론을 실시하는 통계적 추론의 한 방법이다. 추론 대상의 사전확률(Prior)과 추가 정보인 가능도(Likelihood)를 이용하여 해당 대상의 사후확률(Posterior)을 추론하는 방법이다. 베이즈 추론은 베이즈 확률론을 기반으로 하며, 이는 추론하는 대상을 확률변수로 간주하고 그 변수의 확률분포를 추정하는 것을 의미한다. 대표적인 예가 질병 테스터기가 위양성을 나타낼 확률이다.
베이즈 정리의 일반적인 형태를 표 2에 나타내었다. P(A)는 사전확률, P(B|A)는 사건이 일어났다는 가정 하에서 새로이 가지게 된 자료가 관측될 확률인 가능도가 된다. P(B|A)는 사후확률로써, B라는 사건이 발생했을 때 A라는 사건이 일어날 조건부 확률을 의미한다. P(B)는 증거(Evidence) 또는 정규화 상수로써 확률의 크기를 조정하는 항목이므로, 계산 과정 전체에 영향을 주지 않으므로 해당 항목을 상수 취급함으로써 표 2 좌측의 베이즈 정리식은 우측의 간소화 형태로 변경할 수 있다.
베이즈 정리는 확률분포(PDF, Probability Density Function) 형태로 확장할 수 있다. 베이즈 정리의 확률분포 형태는 베이즈 정리의 확률식의 각 항을 단순히 확률변수로 바꿔주면 얻을 수 있다. 확률변수 X가 fX(x)라는 확률분포를 따르고, 확률변수 Y는 fY(y)라는 확률분포를 따른다고 하자. 그리고 확률변수 X와 Y는 독립적이지가 않아 결합확률분포를 형성한다면 표 2의 아래쪽 확률분포식의 형태로 베이즈 정리를 확장할 수 있다. 이 부분이 매우 중요한데, 두 개의 확률변수 X와 Y가 독립적이라면, P(B|A) = P(B)이므로 베이즈 정리를 사용할 수 없음에 주의해야 한다.

<참고문헌>

[1] Nam-Ho Kim, Dawn An, Joo-ho Choi, “Prognostics and Health Management of Engineering  Systems”, Springer, 2016.
[2] Minchul Kim et. al, “Students’ Understanding of the Ontological and Epistemological Meaning of  Physics Equations”, New Physics: Sae Mulli, 2020, vol.70, pp.851~862. 

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